halaman terkait:
Bab 2 dan 3
Bab 4 Ukuran Pemusatan Bab 8 Analisis Hipotesis
Bab 5 Ukuran Penyebaran. Bab 9 Analisis Variansi
Bab 6 Momen ... Bab 10 Analisis Regresi dan Korelasi
Bab 7 Distribusi
BAB 7
Distribusi Normal, Distribusi f dan Distribusi t
1. Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan suatu alat
statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan
peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Distribusi normal disebut juga
dengan distribusi Gauss untuk menghormati Gauss sebagai penemu
persamaannya (1777-1855). Menurut pandangan ahli statistik, distribusi
variabel pada populasi mengikuti distribusi normal.
Karakteristik Kurva Distribusi Normal
- Kurva berbentuk genta (m= Md= Mo)
- Kurva berbentuk simetris
- Kurva normal berbentuk asimptotis
- Kurva mencapai puncak pada saat X= m
- Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.
enis-Jenis Distribusi Probabilitas Normal
- Distribusi kurva normal dengan m sama dan s berbeda
- Distribusi kurva normal dengan m berbeda dan s sama
- Distribusi kurva normal dengan m dan s berbeda
Fungsi Denitas Distribusi Normal
Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut
dimana
- π = 3,1416
- e = 2,7183
- µ = rata-rata
- σ = simpangan baku
Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1. kurva distribusi normal umum
Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut:
- Grafiknya selalu berada di atas sumbu x
- Bentuknya simetris pada x = µ
- Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ
- Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian
- Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ
- Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ
- Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ
Membuat kurva normal umum bukanlah suatu pekerjaan yang mudah. Lihat
saja rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai pada sumbu Y) begitu
rumit. Oleh karena itu, orang tidak banyak menggunakannya.
Orang lebih banyak menggunakan DISTIBUSI NORMAL BAKU. Kurva
distribusi normal baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara
transformasi nilai x menjadi nilai z, dengan formula sbb:
Kurva distribusi normal baku disajikan pada Gambar 2 berikut ini.
Gambar 2. Kurva distribusi normal baku
Kurva distribusi normal baku lebih
sederhana dibanding kurva normal umum. Pada kurva distribusi normal
baku, nilai µ = 0 dan nilai σ=1, sehingga terlihat lebih menyenangkan.
Namun, sifat-sifatnya persis sama dengan sifat-sifat distribusi normal
umum.
Untuk keperluan praktis, para ahli
statistika telah menyusun Tabel distribusi normal baku dan tabel
tersebut dapat ditemukan hampir di semua buku teks Statistika. Tabel
distribusi normal bakui disebut juga dengan Tabel Z dan dapat digunakan
untuk mencari peluang di bawah kurva normal secara umum, asal saja nilai
µ dan σ diketahui. Sebagai catatan nilai µ dan σ dapat diganti
masing-masing dengan nilai dan S.
Berikut adalah tabel distribusi normal standar, untuk P (X < x), atau dapat diilustrasikan dengan luas kurva normal standar dari X = minus takhingga sampai dengan X = x.
Tabel Z
Contoh penggunaan tabel Z:
Hitung P (X<1,25)
Penyelesaian: Pada tabel, carilah angka 1,2 pada kolom
paling kiri. Selanjutnya, carilah angka 0,05 pada baris paling atas. Sel
para pertemuan kolom dan baris tersebut adalah
0,8944.
Dengan demikian, P (X<1,25) adalah 0,8944.
Contoh kasus menggunakan rumus Z
Rata-rata produktivitas padi di Aceh
tahun 2009 adalah 6 ton per ha, dengan simpangan baku (s) 0,9 ton. Jika
luas sawah di Aceh 100.000 ha dan produktivitas padi berdistribusi
normal (data tentatif), tentukan
1. berapa luas sawah yang produktivitasnya lebih dari 8 ton ?
Jawab:
1. Hitung nilai z dari nilai x = 8 ton dengan rumus
2. Hitung luas di bawah kurva normal pada
z = 2,22. Caranya buka Tabel Z dan lihat sel pada perpotongan baris
2,20 dan kolom 0,02. Hasilnya adalah angka 0,98679 dan bila dijadikan
persen menjadi 98,679%. Angka ini menunjukkan bahwa luas di bawah kurva
normal baku dari titik 2,22 ke kiri kurva adalah sebesar 98,679%.
Karena luas seluruh di bawah kurva normal adalah 100%, maka luas dari
titik 2,22 ke kanan kurva adalah 100% – 98,679% = 1,321% (arsir warna
hitam pada gambar). Oleh karena itu, luas sawah yang produktivitasnya
lebih dari 8 ton adalah 1,321%, yaitu (1,321/100) x 100.000 ha = 1321
ha.
2. Distribusi f
Distribusi ini juga mempunyai variabel acak
yang kontinu. Fungsi identiatasnya mempunyai persamaan:
Dengan variabel acak F memenuhi batas F >
0, K = bilangan yang tetap harganya bergantung pada v1 dan v2 . sedemikian
sehingga luas dibawah kurva sama dengan satu, v1= dk pembilang dan v2= dk
penyebut.
Jadi distribusi F ini
mempunyai dua buah derajat kebebasan. Grafik distribusi F tidak simetrik dan
umumnya sedikit positif seperti juga distribusi lainya, untuk keperluan
penghitungan dengan distribusi F, daftar distribusi F telah disediakan seperti
dapat ditemukan dalam lampiran , daftar 1. Daftar tersebut berisikan
nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kebebasan v1 dan v2.
Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk=v1
ada pada baris paling atas dan dk=v2 pada kolom paling kiri.
Untuk tiap pasang dk,v1 dan v2,daftar berisikan harga-harga Fdengan
luas kedua ini (0,01 atau 0,05)
|
Untuk tiap dk= v2, daftar terdiri atas dua
baris, yang atas untuk peluang p=0,05 dan yang bawah untuk p=0,01.
Contoh: untuk pasangan derajat kebebasan v1=24
dan v2=8, ditulis juga(v1,v2)=(24,8), maka untuk p=0,05 didapat F =3,12
sedangkan untuk p=0,01 didapat F=5,28(lihat daftar1,lampiran). Ini didapat
dengan jalan mencari 24 pada baris atas dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24
turun dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan bilangat tersebut. Yang atas
untuk p=0,05 dan yang bawahnya untuk p=0,01.
Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar
distribusi F dengan peluang p dan dk=(v1,v2) adalah Fp(v1,v2)
Demikian untuk contoh kita didapat
F0,05(24,8)=3,12 dan F0,01(24,8)=5,28
Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk
peluang p=0,01 dan p=0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F
dengan peluang 0,99 dan 0,95.
Untuk ini digunakan hubungan
Dalam rumus diatas perhatikan antara p dan
(1-p)dan pertukaran antara derajat kebebasan (v1,v2) menjadi (v2,v1)
Contoh: telah didapat F0,05(24,8)=3,12
makaF
0,95(8,24)= 0,321.
3. Distribusi t
Distribusi t merupakan salah satu pengembangan dari Distribusi z. Secara
prinsip penggunaan Distribusi t digunakan untuk membandingkan rata-rata
dari dua sampel. Rata-rata dua sampel tersebut dibandingkan untuk
mengetahui apakah dua data tersebut mempunyai beda. Distribusi biasanya
digunakan untuk data yang banyak sampelnya kurang dari sama dengan 30.
t di definisikan sebagai berikut:
Dari definisi nilai t di atas, ada beberapa nilai yang perlu kita ketahui:
sehingga inputan data di atas sebaiknya anda tahu.
Contoh ada nilai siswa sebagai berikut:
Nilai
|
66
|
40
|
75
|
64
|
65
|
71
|
66
|
81
|
65
|
50
|
Apakah nilai data tersebut rata-ratanya sama dengan data yang lain yang rata-ratanya 60?
Dari data di atas diperoleh nilai sebagai berikut:
Misalkan taraf signifikansinya 0.05, nilai derajat kebebasan data tersebut dk = 10 - 1 = 9. Dari tabel distribusi t didapatkan :
Sedangkan nilai t hitung bisa diperoleh dari :
Dari nilai tersebut diperoleh
Kesimpulannya data diatas tidak berbeda signifikan dengan data yang rata-rata populasinya 60.
